Week 6: Discrete Probability Distributions - Binomial and Poisson distributions

Binomial Distribution

Definition and Usage: The Binomial Distribution is a fundamental discrete probability distribution, typically used when considering a sequence of independent trials, each with two possible outcomes - commonly termed as success and failure. It's particularly useful in scenarios like coin flipping, quality control in manufacturing, or any process where the outcome is binary and probabilities remain constant.

Parameters:

• $n$: Total number of trials.
• $p$: Probability of success on a single trial.
• $q$ or $1-p$: Probability of failure on a single trial.

Probability Mass Function: The probability of getting exactly $k$ successes in $n$ trials (where $k$ can be any number from 0 to $n$) is given by: $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)p^k{q}^{n-k}$ This formula combines the binomial coefficient (which counts the number of ways to choose $k$ successes out of $n$ trials) with the probabilities of these successes and failures.

Examples:

• In a quality control check, if 10 items are inspected (n=10) and the probability of any item being defective is 0.05 (p=0.05), the probability of finding exactly 2 defective items can be calculated using the binomial distribution.

Poisson Distribution

Definition and Usage: The Poisson Distribution is another key discrete probability distribution. It is used for modeling the number of times an event occurs in a fixed interval of time or space. This model is appropriate for events that occur independently and at a constant average rate.

Parameter:

• $\lambda$: The average number of events in the given interval. It’s both the mean and the variance of the distribution.

Probability Mass Function: The probability of observing exactly $k$ events (where $k$ can be any non-negative integer) in a fixed interval is given by: $P(X=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$ Here, $e$ is Euler's number (approximately 2.71828), and $k!$ denotes the factorial of $k$.

Examples:

• If a call center receives an average of 5 calls per hour (λ=5), the Poisson distribution can be used to determine the probability of receiving exactly 3 calls in a given hour.

***

İkil Dağılım

Tanım ve Kullanım: İkil dağılım, her biri iki olası sonuçla (başarı ve başarısızlık olarak adlandırılır) sonuçlanan bağımsız denemeler dizisini ele alırken kullanılan temel bir ayrık olasılık dağılımıdır. Bu dağılım, para atma, üretimde kalite kontrolü veya sonucun ikili olduğu ve olasılıkların sabit kaldığı herhangi bir süreçte özellikle kullanışlıdır.

Parametreler:

• $n$: Toplam deneme sayısı.
• $p$: Tek bir denemede başarı olasılığı.
• $q$ veya $1-p$: Tek bir denemede başarısızlık olasılığı.

Olasılık Kütle Fonksiyonu: Tam olarak $k$ başarının, $n$ denemede elde edilme olasılığı (burada $k$, 0 ile $n$ arasında herhangi bir sayı olabilir): $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)p^k{q}^{n-k}$ Bu formül, $n$ denemede $k$ başarıyı seçme sayısını sayan ikil katsayıyı, bu başarıların ve başarısızlıkların olasılıklarıyla birleştirir.

Örnekler:

• Kalite kontrol kontrolünde, 10 ürün incelenirse (n=10) ve herhangi bir ürünün kusurlu olma olasılığı 0.05 ise (p=0.05), tam olarak 2 kusurlu ürün bulma olasılığı ikil dağılım kullanılarak hesaplanabilir.

Poisson Dağılımı

Tanım ve Kullanım: Poisson Dağılımı, başka bir önemli ayrık olasılık dağılımıdır. Bu model, belirli bir zaman veya alan aralığında bir olayın kaç kez gerçekleştiğini modellemek için kullanılır. Olaylar bağımsız olarak ve sabit bir ortalama hızla gerçekleştiğinde bu model uygundur.

Parametre:

• $\lambda$: Verilen aralıkta olayların ortalama sayısı. Hem dağılımın ortalaması hem de varyansıdır.

Olasılık Kütle Fonksiyonu: Belirli bir aralıkta tam olarak $k$ olayın gözlemlenme olasılığı (burada $k$, herhangi bir negatif olmayan tam sayı olabilir): $P(X=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$ Burada, $e$ Euler sayısıdır (yaklaşık olarak 2.71828), ve $k!$ $k$'nın faktöriyelini gösterir.

Örnekler:

• Eğer bir çağrı merkezi saatte ortalama 5 çağrı alıyorsa (λ=5), Poisson dağılımı bir saat içinde tam olarak 3 çağrı alınma olasılığını belirlemek için kullanılabilir.